今回紹介するのは「白黒ぼうし①」の問題です。
白黒ぼうしに関する問題は色々あるので、1つずつ解説していきます。

問題

2人がある部屋に閉じ込められています。
今からあるゲームをクリアすればこの部屋から出ることが出来ます。

ルール

・2人は白色か黒色のぼうしが被らされて、向き合っています。
・ぼうしの色は2人とも同じかもしれないし、違うかもしれません。
・どちらも相手のぼうしの色は見えますが、自分のぼうしの色は見えません。
・2人同時に自分のぼうしの色を叫び、1人でも当たっていたらクリアです。

このゲームを始める前に2人には5分ほど話し合いの時間が与えられます。
どのように発言すれば、このゲームにクリアできるでしょうか?

解答はこちら↓↓↓

解答

ここから先が解答になります。

「1人は相手のぼうしの色を言い、もう1人は相手のぼうしの色と逆の色を言う」

順番に解説していきます。

解説

登場人物の2人をAとBとします。
AとBのぼうしの色の組み合わせは次のようになります。

AとBの組み合わせで考えられるのが、
(A,B)=①(白,白)
    ②(白,黒)
    ③(黒,白)
    ④(黒,黒)
の4通りです。

ゲームにクリアする上で大事なのが、2人中1人がぼうしの色を当てることです。
もう1人は外してしまっても問題はありません。

ここで、「AはBのぼうしの色を言い、BはAのぼうしと逆の色を言います」

こうすることで、上で示した4通りの組み合わせ全てで合格することが出来ます。
以下で確認してでいきます。

・A=白,B=白のとき
上のルールで発言すると、Aは白、Bは黒となります。
Aが自分のぼうしの色を当てることが出来たのでクリアです。

・A=白,B=黒のとき
上のルールで発言すると、Aは黒、Bは黒となります。
Bが自分のぼうしの色を当てることが出来たのでクリアです。

・A=黒,B=白のとき
上のルールで発言すると、Aは白、Bは白となります。
Bが自分のぼうしの色を当てることが出来たのでクリアです。

・A=黒,B=黒のとき
上のルールで発言すると、Aは黒、Bは白となります。
Aが自分のぼうしの色を当てることが出来たのでクリアです。

今回のような問題を考える時は、全てのパターンで成り立つかを考えるのがポイントです。

応用問題

もう一問紹介します。
先程よりは少し難しくなります。

問題

3人の人がある部屋に閉じ込められています。
今からあるゲームをクリアすればこの部屋から出ることが出来ます。

ルール

・3人の人が赤色か青色か黄色のぼうしが被らされて、向き合っています。
・ぼうしの色は3人とも同じかもしれないし、2人だけ同じかもしれないし、3人とも違うかもしれません。
・3人とも残り2人のぼうしの色は見えますが、自分のぼうしの色は見えません。
・3人同時に自分のぼうしの色を叫び、1人でも当たっていたらクリアです。

先程の問題より、人数もぼうしの色も増えました。
このゲームを始める前に3人には5分ほど話し合いの時間が与えられます。
どのように発言すれば、このゲームにクリアできるでしょうか?

解答はこちら↓↓↓

解答

それぞれの色に、赤=0、青=1、黄=2と番号を付けます。
Aは数字の合計が3の倍数になるように色を言い、Bは3で割った余りが1になるように言い、Cは3で割った余りが2になるように言います。

解説

3つの数字の合計を3で割った余りは必ず、0,1,2のどれかになります。
したがって、3人で分担して、0,1,2の全ての組み合わせを言えばクリアできます。
以下で確認してみましょう。

AとBとCの組み合わせで考えられるのが、
(A,B,C)=①(赤,赤,赤)
     ②(赤,赤,青)
     ③(赤,赤,黄)
     ④(赤,青,赤)
     ⑤(赤,青,青)
     ⑥(赤,青,黄)
     ⑦(赤,黄,赤)
     ⑧(赤,黄,青)
     ⑨(赤,黄,黄)
     ⑩(青,赤,赤)
     ⑪(青,赤,青)
     ⑫(青,赤,黄)
     ⑬(青,青,赤)
     ⑭(青,青,青)
     ⑮(青,青,黄)
     ⑯(青,黄,赤)
     ⑰(青,黄,青)
     ⑱(青,黄,黄)
     ⑲(黄,赤,赤)
     ⑳(黄,赤,青)
     ㉑(黄,赤,黄)
     ㉒(黄,青,赤)
     ㉓(黄,青,青)
     ㉔(黄,青,黄)
     ㉕(黄,黄,赤)
     ㉖(黄,黄,青)
     ㉗(黄,黄,黄)
の27通りです。
3の3乗ですね。

赤=0、青=1、黄=2とし、これらの組み合わせの合計値を計算すると、
(A,B,C)=①(赤,赤,赤)=0
     ②(赤,赤,青)=1
     ③(赤,赤,黄)=2
     ④(赤,青,赤)=1
     ⑤(赤,青,青)=2
     ⑥(赤,青,黄)=3
     ⑦(赤,黄,赤)=2
     ⑧(赤,黄,青)=3
     ⑨(赤,黄,黄)=4
     ⑩(青,赤,赤)=1
     ⑪(青,赤,青)=2
     ⑫(青,赤,黄)=3
     ⑬(青,青,赤)=2
     ⑭(青,青,青)=3
     ⑮(青,青,黄)=4
     ⑯(青,黄,赤)=3
     ⑰(青,黄,青)=4
     ⑱(青,黄,黄)=5
     ⑲(黄,赤,赤)=2
     ⑳(黄,赤,青)=3
     ㉑(黄,赤,黄)=4
     ㉒(黄,青,赤)=3
     ㉓(黄,青,青)=4
     ㉔(黄,青,黄)=5
     ㉕(黄,黄,赤)=4
     ㉖(黄,黄,青)=5
     ㉗(黄,黄,黄)=6
となり、0~6までの数字に分類されます。

0~6までの数字を3で割った余りは必ず、0,1,2のどれかになります。
したがって、3人で分担して0,1,2の全ての組み合わせを言えばクリアできます。

今回はここまでです。
最後までご覧頂きありがとうございました。